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Tricalc 7
Nuevas posibilidades de cálculo en 2º orden
Con la
presentación de Tricalc 7.0 incluyendo el cálculo de la estructura
en 2º orden, se ha puesto a disposición de los usuarios nuevas
posibilidades de cálculo, tanto en el tema del cálculo de la
estructura deformada, como en el de los tirantes, apoyos
unidireccionales y resortes trabajando sólo a compresión. La
generalidad del método empleado hace que pueda ser aplicable a
distintas situaciones de forma fácil y automática, sin más que
activar la opción. Como ejemplo introductorio, si una estructura con
cargas gravitatorias y de viento se calcula en 1º orden sólo una
vez, con 26 hipótesis de carga para la obtención de sus
desplazamientos, ahora con Tricalc es posible realizar en 2º orden
tantos cálculos como combinaciones finales, en la práctica miles de
procesos de resolución del sistema de ecuaciones, uno para cada
combinación. Todo ello es posible gracias al nuevo motor de cálculo
de resolución de ecuaciones implementado en Tricalc 7.0, con una
velocidad de cálculo que permite resolver el sistema de ecuaciones
en segundos.
Este artículo aborda los fundamentos del cálculo en 2º orden
utilizado en Tricalc, su comparación con el cálculo en 1º orden y
los beneficios de su aplicación en diferentes situaciones del
cálculo de estructuras.
Diferencias entre cálculo en 1er orden y cálculo en 2º
orden
Recordar en primer lugar, que para calcular los desplazamientos y
giros de todos los nudos de una estructura debe resolverse el
siguiente sistema de ecuaciones:
[K]·{d} = {F}
En el que [K] es la matriz de rigidez de la estructura,
{d} son los desplazamientos y giros que se desean obtener, y
{F} son las acciones exteriores -las cargas- aplicadas a la
estructura.
La principal diferencia entre un cálculo elástico lineal en 1º
orden y todos los tipos de cálculo en 2º orden es, que en el primer
caso, se cumple el principio de superposición y en el segundo no. Es
decir, en 1º orden es posible realizar el cálculo por separado para
cada hipótesis simple de carga y posteriormente combinarlas para
obtener las diferentes combinaciones de estado límite último y
estado límite de servicio. Incluso es posible modificar los
coeficientes parciales de seguridad de las acciones y obtener
directamente las combinaciones sin volver a resolver el sistema de
ecuaciones. Por tanto, en este caso, las matrices {d} y
{F} poseen tantas columnas como hipótesis simples se desea
considerar.
Sin embargo, para cualquier tipo de cálculo en 2º orden, al no
cumplirse el principio de superposición, debe resolverse el sistema
de ecuaciones para cada combinación de acciones a estudiar.
Ello es debido a que [K] y/o {F} varían en función de
{d}, lo que implica calcular por iteraciones o aproximaciones
sucesivas, en las que tras cada iteración, se obtienen los
desplazamientos y giros {d} a partir de los cuales se
recalcula [K] y/o {F} para realizar la siguiente
iteración, tal como se explica al hablar de los diferentes tipos de
cálculo en 2º orden. Por tanto, en este caso, las matrices {d}
y {F} poseen tantas columnas como combinaciones de acciones
se desea considerar, y debe realizarse un cálculo por iteraciones,
independiente para cada combinación.
Tipos de cálculo en 2º orden
Los diferentes tipos de cálculo en 2º orden, se agrupan en las
siguientes categorías:
- Cálculo en 2º orden geométrico o
elástico.
En este caso, se considera la posición de las cargas
exteriores con respecto a la estructura deformada. Es decir,
si por ejemplo, tras un primer cálculo en 1º orden un pilar
de altura h que tiene una carga vertical P en
su cabeza sufre un desplazamiento horizontal relativo de la
cabeza de magnitud
D 1, aparece
un momento de 2º orden de valor
P·D
1,
de ahí que este método se conoce como el método P-Delta (P·D
). Este
momento adicional (que puede definirse con un par de fuerzas
horizontales de 2º orden en ambos extremos del pilar de
valor H1 =
P·D
1 / h)
produce, en un segundo cálculo (o iteración) un
desplazamiento horizontal adicional
D
2 (que en general será menor que
D
1), y así sucesivamente, hasta que en la
iteración n, el desplazamiento adicional
D
n se considere suficientemente pequeño, y
menos a un valor definible.
Método de 2º
orden P·D
, utilizado por
Tricalc 7
- Cálculo en 2º orden mecánico o
plástico.
En este caso, se tienen en cuenta las no linealidades del
material. En el caso de estructuras metálicas, el caso
típico corresponde a la formación de rótulas plásticas
(generalmente en las uniones entre elementos), en las que
existe una gráfica momento – giro no lineal (elastoplástica
o rigidoplástica). Otro caso típico en estructura metálica
lo constituyen los tirantes, que no soportan compresiones y
que en tracción pueden alcanzar un límite de cedencia o
plastificación-ver ejemplo 3. En el caso de estructuras de
hormigón armado, el problema está en la pérdida progresiva
de rigidez a flexión al irse fisurando la sección, y en que
el hormigón armado posee una gráfica tensión – deformación
no lineal. También es el caso de coacciones exteriores
-apoyos o empotramientos- no lineales, tales como las losas
de cimentación donde los desplazamientos hacia abajo
producen reacciones que crecen linealmente, pero en el
sentido contrario se produce un ‘despegue’ cimiento –
terreno y por tanto sin coacción ni reacción, y por último,
los apoyos simples unidireccionales en los que en un sentido
hay apoyo y por tanto reacción, y en el otro no hay coacción
ni por tanto reacción (ver ejemplo 4).
El cálculo en 2º orden geométrico es más sencillo de abordar y
requiere un menor coste en tiempo de cálculo que el cálculo en 2º
orden mecánico. Normalmente, o bien se aborda un cálculo en 2º orden
geométrico, o bien se abordan ambos tipos en un mismo proceso.
Tricalc permite considerar el cálculo en 2º orden geométrico o
elástico, así como el cálculo en 2º orden mecánico o plástico, en el
caso de tirantes, de apoyos unidireccionales y de resortes
unidireccionales en losas de cimentación (versión 7.2)
Criterios de convergencia
En el cálculo en 2º orden, al utilizarse un proceso iterativo de
aproximaciones sucesivas, hay que establecer un criterio que indique
cuándo se ha llegado a la solución deseada. En general, se adopta un
doble criterio: que los desplazamientos o esfuerzos calculados en
una iteración sean suficientemente próximos a los de la iteración
anterior, y que no se supere un determinado número de iteraciones.
Por ejemplo, en Tricalc, el usuario puede fijar la diferencia máxima
en desplazamiento entre dos iteraciones de todos los nudos de la
estructura.
Resolución en 2º orden geométrico o elástico
Para resolver el cálculo de esfuerzos en 2º orden geométrico o
elástico, es necesario resolver el sistema de ecuaciones
([K] – [GN]) ·{d} = {F}
Que también puede escribirse como
[K]·{d} = {F} – [GN]·{d}
La matriz [GN] es la matriz geométrica de
rigidez y define la relación entre [K] ó {F] con los
desplazamientos de la iteración anterior. Por tanto, puede
resolverse de dos maneras: calculando en cada iteración la matriz
([K] – [GN]), o bien, modificando en cada iteración
el vector de acciones exteriores {F} – [GN]·{d}.
Tricalc ha optado por ejemplo, por el segundo método, en el que la
matriz de rigidez permanece constante en todas las iteraciones y
combinaciones de acciones.
Este tipo de cálculo tiene la particularidad de que la relación
entre deformación y acciones adicionales de 2º orden es constante ( Hi
= P·D i / h,
como vimos en el ejemplo), lo que implica que no es necesario tener
en cuenta la historia de carga de la estructura.
Resolución del cálculo en 2º orden mecánico o plástico
En este caso, tras cada iteración es necesario modificar la
matriz de rigidez [K]. Dependiendo del fenómeno de 2º orden
estudiado, la modificación será más o menos compleja y requerirá más
o menos tiempo de cálculo.
En el caso de tirantes, en los que sólo se desea evitar
que trabajen a compresión, basta tras cada iteración, eliminar de la
matriz de rigidez los tirantes que trabajan a compresión, teniendo
en cuenta que si en una iteración un tirante estaba comprimido, en
la iteración siguiente puede estar traccionado y viceversa. Además,
al igual que en el caso de cálculo de 2º orden geométrico, tampoco
es necesario considerar la historia de carga de la estructura.
En el caso de formación de rótulas plásticas o de que se
produzca la plastificación del material, al producirse una
deformación irreversible, sí es necesario considerar la historia de
carga. Es decir, para estudiar una combinación de acciones, es
necesario dividir el tiempo en diferentes estados de carga
intermedios y partir en cada estado de las deformaciones
irreversibles producidas en el estado anterior. Lo mismo ocurre con
fenómenos derivados de la fisuración en hormigón armado: una
vez que una sección ha fisurado (y por tanto su rigidez ha
disminuido a veces drásticamente) no vuelve a su estado anterior
aunque disminuyan las cargas. En el caso del hormigón armado existe
la dificultad adicional de que la rigidez fisurada depende de la
armadura de la pieza, que en general no se conoce antes de abordar
el cálculo, lo que implica un primer cálculo para estimar la
armadura y, si tras una iteración fuera necesario modificar la
armadura sustancialmente, se debería reiniciar todo el proceso de
cálculo. Hay que decir no obstante, que hay normas como el
Eurocódigo 2 (EN 1992-1-1:2004) en las que de forma simplificada,
puede adoptarse una rigidez reducida que ya no depende de la
armadura ni de la historia de carga, transformándose el problema en
uno de 1º orden.
Cuando interviene la historia de carga, es necesario además
adoptar técnicas de cálculo más refinadas como pasar de un estado de
carga al siguiente mediante pequeños incrementos de carga. Además,
en fase de proyecto, no siempre es conocido el proceso constructivo
que tendrá la estructura y por tanto, es difícilmente predecible la
historia de carga.
Como ya se ha indicado, Tricalc permite opcionalmente la
consideración de los tirantes (ver ejemplo 3) y apoyos
unidireccionales (ver ejemplo 4), definidos en cualquier parte de la
estructura con absoluta libertad. En el caso de habilitarse esta
consideración y de que existan barras consideradas como tirantes en
la estructura, Tricalc modifica la matriz de rigidez tras cada
iteración (de cada combinación de esfuerzos estudiada en 2º orden)
para eliminar de ella los tirantes que resultaran comprimidos en la
iteración anterior.
Estructuras calculables en 2ºorden
A continuación se muestran algunos ejemplos de estructuras
claramente traslacionales, en las que es necesario considerar los
esfuerzos adicionales que se producen al aplicar las fuerzas
exteriores en su posición de deformada.
En el ejemplo 1, la aplicación de la carga puntual en el extremo
del voladizo produce unos efectos de 2º orden a considerar, que
incrementan los esfuerzos en el pilar.
Ejemplo 1, Estructura
traslacional
En el ejemplo 2, la estructura tiene una carga superior
importante. Cualquier variación en la posición de la carga
incrementa los esfuerzos del pilar por la aplicación de la carga en
la posición deformada.
Ejemplo 2, Estructura con importante carga
superior, que condiciona el dimensionado del pilar
al considerar la hipótesis de desplazamientos de la carga.
En el ejemplo 3, el testero de una nave, se han dispuesto unos
tirantes contra la acción del viento lateral que sólo deben trabajar
a tracción, lo que condiciona también los esfuerzos y
desplazamientos del resto de los elementos. Obsérvese que los
tirantes no tienen por qué formar cruces de San Andrés ni estar
dispuestos en la diagonal de un rectángulo.
Ejemplo 3, Estructura con tirantes para la
estabilidad lateral, que sólo deben trabajar a tracción.
En el ejemplo 4, vemos el caso de una viga de tres vanos apoyada
en la coronación de sendos muros de fábrica. Estos apoyos impiden el
descenso de la viga, pero no así su levantamiento. La alternancia de
sobrecargas hace que cuando sólo el vano central está cargado, la
viga se ‘despegue’ de los apoyos extremos. Para su cálculo, los
apoyos se han modelizado mediante pilares superiores de gran rigidez
pero con la condición de tirante.
Ejemplo 4, Estructura con apoyos unidireccionales
modelizados con tirantes. En la imagen superior, calculada en 2º
orden, en el que se observa el ‘despegue’ de los apoyos extremos en
algunas combinaciones. En la imagen inferior, resultados del
1º orden, donde no es posible tener en cuenta
este tipo de apoyo (en los apoyos extremos se producen reacciones
hacia abajo en algunas combinaciones).
Tiempos de cálculo
Es difícil determinar el tiempo de cálculo adicional que supone
un cálculo de esfuerzos en 2º orden, sobre todo porque va a depender
de la velocidad de convergencia hacia la solución. Como ejemplo,
para una estructura de una nave industrial metálica con cubierta
tipo dientes de sierra, calculada con viento y sismo, tiene 1.277
barras, 622 nudos y 3.456 grados de libertad, se tiene:
|
Tipo
de cálculo |
Cálculo Esfuerzos y Desplazamientos |
Cálculo incluyendo dimensionado |
|
1º Orden |
14" |
4’13" |
2º Orden sin tirantes
|
6’ 7"
( 1042 iteraciones. 1,2" por iteración) |
17’ 22" |
|
2º Orden
con tirantes |
7’ 49"
(1230 iteraciones. 1,6" por iteración) |
19’ 13" |
Criterio de convergencia utilizado en 2º Orden, igual a 0,001cm
de diferencia entre los desplazamiento de 2 iteraciones sucesivas.
275 combinaciones calculadas en 2º orden.
Beneficios del método de cálculo utilizado por Tricalc
Si un cálculo en 2º orden produce siempre mayores desplazamientos
y por tanto, mayores esfuerzos, cabe preguntarse por qué realizar un
cálculo en 2º orden si hay otros métodos que igualmente permite la
normativa.
En el caso de los tirantes (elementos que sólo resisten
tracciones) la respuesta es evidente: el cálculo en 2º orden es el
único que puede tener en cuenta de una manera precisa y general este
tipo de elementos. Aunque haya métodos aproximados para tenerlos en
cuenta sin necesidad de acudir a un cálculo en 2º orden, no dejan de
ser simplificaciones que exigen tales condicionamientos geométricos
que restringen en gran medida su aplicabilidad.
En el caso de los apoyos unidireccionales, es posible eliminar en
cada iteración los elementos que no trabajan como han sido
definidos. Por ejemplo, en los apoyos unidireccionales, en el caso
que en una determinada combinación trabajen a compresión, pueden ser
eliminados en la siguiente iteración dejando sólo los
que estén
traccionados.
También se produce un gran beneficio en el correcto cálculo de
estructuras esbeltas o ‘traslacionales’, incluso posibilitando el
uso de secciones menores respecto a otros métodos más simplificados
de considerar el estado límite último de inestabilidad o pandeo.
Efectivamente, a falta de un estudio más profundo (objeto tal vez
de otro artículo), la consideración del estado límite último de
inestabilidad o pandeo de un pilar para estructuras traslacionales o
de nudos desplazables definido en las diferentes normativas de
hormigón, acero y madera, se puede realizar mediante los tres
métodos siguientes:
Calculando la longitud de pandeo
como elemento traslacional (Lp
=
b·L,
con
b
Î
[1; ¥]) y comprobando el
pandeo con métodos del tipo ‘columna modelo’.
Calculando la longitud de pandeo como elemento
intraslacional (Lp
=
b·L, con
b
Î
[0,5; 1]),
aumentando los esfuerzos procedentes de acciones
horizontales (mediante los llamados coeficientes de
amplificación) y comprobando el pandeo con métodos del tipo
‘columna modelo’.
Comprobación global en 2º orden
(tanto geométrico como mecánico), con consideración de las
imperfecciones globales y locales, no necesitándose realizar
ninguna comprobación adicional de pandeo.
|
Tipo de cálculo |
Comprobación a
pandeo-longitud de pandeo |
| A)
1º Orden |
Elemento Traslacional,,
Lp
=
b·L,
con
b
Î [1;
¥] |
| B)
1º Orden con coeficientes de
amplificación |
Elemento Intraslacional,,
Lp =
b·L,
con
b
Î
[0,5; 1] |
| C)
2º Orden |
No
necesaria |
Se entiende siempre para estructuras traslacionales
El método A es el más inexacto y el
más antiguo. Está sujeto además a muchas incertidumbres, ya que es
muy sensible a la correcta selección del parámetro
b que tiene un rango de valores
posibles demasiado elevado.
El método B es más preciso
en cuanto que la variabilidad de
b
es muy reducida. Sin embargo, es sensible a la correcta elección de
los denominados coeficientes de amplificación, que en algunos casos
(estructuras que no son forjados horizontales con pilares verticales
como el caso de naves industriales, o pandeo de elementos
comprimidos no verticales) no son fáciles de obtener.
El método
C es
el que muchas normas denominan ‘caso general’. Es el más preciso de
todos, pero en algunos casos (sobre todo en hormigón armado o cuando
hay que comprobar el pandeo lateral o torsional) es de muy difícil
implementación.
El cálculo en 2º orden realizado por Tricalc se sitúa en los
métodos B y C:
Se calcula la longitud de pandeo como elemento intraslacional
(Lp
= b·L,
con b
Î
[0,5; 1]) y se comprueba el
pandeo con métodos del tipo ‘columna modelo’. Sólo en algunos casos
(elementos metálicos no sensibles al pandeo lateral o torsional,
como secciones huecas o en cajón) podría utilizarse en Tricalc el
método C
(es decir, cálculo en 2º orden geométrico o elástico considerando
las imperfecciones globales y locales y no comprobar a pandeo).
Por tanto, el cálculo en 2º orden
de
Tricalc tiene las
siguientes ventajas respecto a los métodos
A
y
B:
Respecto al método A,
la variabilidad del parámetro
b
es pequeña, por lo que, al igual que el método 2, es poco
sensible a una incorrecta selección de dicho parámetro.
Respecto al método B,
no depende de coeficientes de amplificación (a veces de difícil
obtención), por lo que es mucho más generalizable a cualquier
elemento comprimido de una estructura. Además, utilizar los
esfuerzos de un cálculo en 2º orden geométrico es siempre más
preciso que utilizar la simplificación de amplificar los
esfuerzos de primer orden por unos coeficientes también
obtenidos en primer orden.
Conclusión
Puede afirmarse que el tiempo de cálculo que supone el
cálculo en 2º orden se puede acotar dentro de unos minutos
adicionales al tiempo de cálculo en 1er orden, por lo
que su consideración dentro del proyecto de la estructura es
perfectamente asumible, ya que cuenta con numerosas ventajas:
Automatismo, ya que una vez activada la opción, el programa
muestra los resultados en 2º orden.
Generalidad para la consideración de tirantes en cualquier
posición de la estructura, al igual que las imperfecciones
iniciales recogidas en el CTE y en los Eurocódigos, o la
consideración de apoyos unidireccionales.
Capacidad de análisis del modelo en situación deformada, que
permite utilizar los esfuerzos en 2º orden con la hipótesis de
longitud de pandeo de estructura intraslacional.
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